АКТУАЛЬНАЯ VS. ПОТЕНЦИАЛЬНАЯ БЕСКОНЕЧНОСТЬ
Проблема АКТУАЛЬНОЙ — ПОТЕНЦИАЛЬНОЙ БЕСКОНЕЧНОСТИ — допустимо ли использование актуальной бесконечности — является одной из острейших для оснований математики.
Фактически эта проблема (дилемма) возникла в самом начале развития европейской математики, т.к. Платон (пифагоро-платоновская школа) признавали актуальную бесконечность, тогда как Аристотель — категорически отвергал ее, введя понятие потенциальной бесконечности (и тесно связанное с ним понятие континуальности) (см. его известное «Infinitium Actu Nor Datur» (понятие актуальной бесконечности — внутренне противоречиво»; более развернуто позиция Аристотеля такова: «Бесконечное существует через полагание одной вещи после другой; то, что полагается, всегда остается конечным, но всегда другими и другим»).
На современном этапе (XX в.) ярким «глашатаем» АКТУАЛЬНОЙ БЕСКОНЕЧНОСТИ является Георг Кантор, основатель теории множеств. Однако и во времена Кантора, и после его смерти среди математиков (и философов) есть как крайние привержены его взглядов, так и его противники.
В частности, это проявляется в "борьбе" «бурбакистов» (Н.Бурбаки) и «анти-бурбакистов» (российские математики И. Шафаревич, В. Арнольд, А. Зенкин; см. их статьи на сайте МЦНМО http://www.mccme.ru).
Достаточно профессионально историко-философское этой проблемы можно найти в работе П.П. Гайденко «Эволюция понятия науки» (см. также ее более поздний текст «История античной философии в ее связи с наукой», который есть на сервере www.philosophy.ru).
Более «математическое» обсуждение этой проблемы можно найти у участников всероссийского семинара по философии, тексты которых в директории http://www.philosophy.ru/library/math/. Специально этой теме посвящен сборник статей «Бесконечность в математике» (1997; электронные версии статей находятся в директории http://www.philosophy.ru/library/fm/).
С уважением, Катречко Сергей